Статья 2305

В этой деятельности никакое современное средство из арсенала программного обеспечения не может заменить способности программиста рассуждать точно и конструктивно.

Языки программирования.
Они дают возможность описывать вычисления многими способами. Язык превращает ЭВМ в виртуальную машину, особенности которой определяются программным обеспечением.
Лоуренс Г.
Теслер
Язык программирования - это нечто большее, чем просто система обозначений для команд, которые воспринимают ЭВМ.
Язык [...]

Читать дальше
Статья 2303

Описанная процедура рекурсивна, обращается сама к себе. В каждом узле дерева, согласно алгоритму, предпринимается одно из четырех действий. Если значение ключа в узле равно, туда вставляется новый ключ. Если значения узлового ключа совпадают, сообщается об успешном поиске. Если новый ключ меньше, чем найденный, то процедура вызывает свою копию, чтобы вести поиск в направлении левого подузла. [...]

Читать дальше
Статья 2301

С помощью эксперимента ответить на вопрос нельзя. Имеется возможных перестановок данных чисел, что для проверки слишком много даже при небольших значениях. При массиве всего из 16 элементов и компьютере, способном проверить миллион вариантов перестановок в секунду, полный анализ занял бы более полугода.
Аналитический метод определения искомого среднего довольно прост. Присваивание начального значения выполняется всегда, поэтому подсчет [...]

Читать дальше
Статья 256

Наряду с прямыми производными правилами вывода можно сформулировать непрямые производные правила, которые суть не что иное, как правила преобразования одних выводов в другие.
Согласно такому правилу, если можно построить некоторый вывод, который называется исходным, то можно построить и некоторый другой вывод, называемый результирующим. Наиболее интересным примером непрямого производного правила вывода является так называемая теорема о [...]

Читать дальше
Статья 252

Способу рассуждения, которым пользовался еще Евклид, соответствуют следующие правила.
Приведем несколько примеров производных правил с кванторами. Это правила преобразования формул, содержащих квантор существования, в формулы, содержащие квантор всеобщности, и наоборот,
правила перестановки кванторов,
правила пронесения квантора через конъюнкцию и квантора через дизъюнкцию.
Интересно производное правило, в котором выражена возможность переименования переменных в выводах НС многие производные правила целесообразно оформлять [...]

Читать дальше
Статья 251

Прямые правила вывода суть правила непосредственного перехода от одних формул к другим, от посылки посылок к заключению. Им сопоставляются определенные шаги формального вывода. Непрямые правила вывода суть правила перехода от одних формальных выводов к другим. Таким правилам соответствуют метаутверждения метатеоремы о преобразованиях одних формальных выводов в другие. Заметим, что основные правила исчисления НС являются [...]

Читать дальше
Статья 248

Однако ситуация может улучшиться, если мы найдем возможность строить вывод не только элементарными шагами, но применяя более крупные логические блоки. Само по себе исчисление позволяет это сделать. Поясним, что здесь имеется в виду. Всякое исчисление содержит правила вывода, необходимые для его формулировки, они называются основными правилами вывода. В исчислении НС это правила и обобщения. Укрупнение [...]

Читать дальше
Статья 246

Выявление указанных или каких-то других свойств выводов особенно существенно в том случае, когда дело касается внелогических приложений формального исчисления. Разумеется, речь идет не только о чисто синтаксической стороне исчисления - о свойствах выводов как синтаксических объектов, не менее важны естественность, ясность, а возможно, какие-то другие свойства семантических построений, необходимые для более эффективного кодирования информации [...]

Читать дальше
Статья 244

Геделя формулируют как теорему о неполноте формализованной арифметики. Но при этом надо иметь в виду, что неполнота формализованной арифметики возникает не из-за слабости неполноты используемых собственно арифметических аксиом, а является следствием неполноты логических средств, применяемых в исчислении. Пояснить это можно следующим образом. Хорошо известно, что аксиомы арифметики Пеано можно сформулировать на языке второпорядковой логики. [...]

Читать дальше
Статья 242

Ответ на этот вопрос был получен К. Геделем в 1930 г. в работе Полнота аксиом логического функционального исчисления. В дальнейшем доказательство Геделя было упрощено и усовершенствовано, а также предложены другие способы доказательств полноты первопорядкового исчисления предикатов. Среди известных можно назвать метод Л. Хенкина, улучшенный Г. Хазенъегером, метод модельных множеств Я. Хинтикки, алгебраические и топологические [...]

Читать дальше
Статья 240

Логическое исчисление сформулировано. Теперь возникает проблема является ли данная формализация адекватной. Она сводится к двум вопросам - о семантической непротиворечивости корректности и о полноте этого исчисления.
Ответ на первый вопрос дает теорема о семантической непротиворечивости исчисления предикатов. Нетрудно показать, что если в исчислении НС формула выводима из множества посылок без варьирования переменных в выводе, то логически [...]

Читать дальше
Статья 238

Ответ оказывается однозначно отрицательным, поскольку можно показать, что согласно правилу обобщения мы можем перейти, но из первой формулы логически не следует вторая. Это же относится и к правилам Бернайса если они включены в формулировку системы.
Однако исчисление НС с таким понятием вывода из посылок адекватно формализует отношения следования и следования относительно общезначимости.
Для того чтобы НС [...]

Читать дальше
Статья 235

Вывод из множества посылок есть последовательность формул, такая, что каждая формула, входящая в эту последовательность, является или аксиомой, или одной из посылок множества, или непосредственно выводима из формул, предшествующих ей в данной последовательности.
Формула выводима из множества посылок, если и только если существует вывод из посылок есть последняя формула этого вывода.
Вывод из пустого множества посылок будем [...]

Читать дальше
Статья 232

Рассуждение правильно тогда и только тогда, когда между посылками и заключением этого рассуждения имеет место отношение логического следования. Теперь встает вопрос, можно ли формализовать это отношение.
Проблема формализации семантического понятия логического следования сводится к вопросу о том, что если логически следует из множества формул, то в этом исчислении можно построить вывод из посылок, и наоборот, [...]

Читать дальше
Статья 230

Формула логически следует из множества формул тогда и только тогда, когда для всякой возможной реализации и любой функции приписывания, если выполняет в каждую формулу, то выполняет в формулу. Символически.
Между двумя множествами формул имеет место отношение логического следования тогда и только тогда, когда для всякой возможной реализации и всякой функции приписывания, если выполняет каждую формулу, то [...]

Читать дальше
Статья 228

Индуктивным определением введем понятие значения терма в возможной реализации при приписывании, обозначив это понятие.
Основным понятием описываемой семантики является понятие выполнимости. Пусть имеется некоторый набор значений, приписанный функцией всем свободным переменным, входящим в формулу. В этом случае будем говорить выполняет формулу в возможной реализации более кратко выполняет, не выполняет. Определим понятие выполняет индукцией по построению [...]

Читать дальше
Статья 226

Описание языка первопорядкового исчисления предикатов на этом заканчивается. В данном описании а также в дальнейшем большие буквы начала латинского алфавита используются в качестве синтаксических переменных, пробегающих по формулам квазиформулам, а буквы в качестве синтаксических переменных, пробегающих по термам квазитермам. Принимаются также обычные соглашения об экономии скобок опускаются внешние скобки формул, опускаются также скобки исходя из [...]

Читать дальше
Статья 224

Если есть местная предикатная константа и квазитермы, то есть квазиформула.
Если суть квазиформулы, то суть квазиформулы.
Если есть квазиформула и связанная индивидная переменная, то суть квазиформулы.
Будем говорить, что вхождение некоторой переменной в квазиформулу находится в области действия квантора, если это есть вхождение в подформулу формулы вида.
Вхождение связанной переменной в квазиформулу будем называть свободным, если оно не находится [...]

Читать дальше
Статья 222

Рассмотрим, например, выражение.
В нем имеется по два вхождения каждого из логических знаков, два вхождения знака и три вхождения одного и того же знака. Если имеется в виду какое-то конкретное вхождение, то будем говорить о фиксированном вхождении данного знака или выражения в некоторое выражение.
Отметим, что наряду с функциональными и предикатными константами в языке исчисления предикатов [...]

Читать дальше
Статья 220

В качестве предикатных констант ниже будут применяться буквы.
Обычно из контекста ясно, какова местность предиката, но в случае необходимости можно ставить верхние индексы местные предикатные константы будем считать константами ранга.
Перечисленные типы знаков, исключая индивидные переменные, обычно называют нелогическими или дескриптивными знаками языка. К логическим знакам относятся индивидные переменные, логические связки и кванторы.
Логические связки, или [...]

Читать дальше
Статья 218

Строго говоря, это неверно. Если, например, переменная пробегает множество геометрических фигур или сторонников перестройки, то, естественно, вместо нее мы подставляем не сами эти фигуры как объекты и не прогрессивных деятелей как конкретных индивидов. Вхождение переменной мы замещаем выражениями, именующими объекты. В качестве индивидных переменных мы будем использовать малые буквы конца латинского алфавита возможно, с [...]

Читать дальше
Статья 216

Индивидные имена или индивидные константы. Это простейшие по структуре и своему назначению знаки. Индивидные имена константы есть выражения, которые обозначают объекты, индивиды. В качестве индивидных констант будем использовать малые буквы начала латинского алфавита возможно, с индексами.
Следует четко различать сам объект и его имя. Если объектом является выражение языка, то в качестве его имени используется само [...]

Читать дальше
Статья 214

Учет того, что в высказываниях может содержаться информация об отношениях между объектами, свойствами, положениями дел, позволяет выделить более общий тип высказываний, нежели высказывания о присущности или неприсущности свойств объектам. В конце века была построена строгая теория рассуждений, включающих и простые, и сложные высказывания, в которых выражена информация о свойствах и отношениях. Одновременно, что является [...]

Читать дальше
Статья 212